Wat is een logaritme ? Hoe bereken je een logaritme ?

Stel de vraag luidt: 3ÂŞ = 10. Hoe bereken je dan a ?
De oplossing is : a = 3 log 10.  Want dat is wat een logaritme per definitie is, een omgekeerde bewerking van het machtsverheffen.
Dit schrijf je om via rekenregels naar a = 10 log 10 / 10 log 3.
En dit kun je op de rekenmachine doen. De 'log'-knop staat voor "10 log."
(10-logknop-deelknop-3-logknop-enter) = 2.095
 

Laatst kreeg ik een vraag over deze vaak onbegrepen berekening. Dat ging zo:

Hey ! (Tja, social media hè, het betrof hier een vraag via internet. Waar de ‘waarde’-aanhef al in het handgeschreven tijdperk zijn langste tijd gehad had, legt nu ook ‘geachte’ of ‘beste’ het loodje)

“Hey ! zou je me willen helpen?

het gaat om de formule om uit te rekenen hoeveel x je iets kan verdubbelen voordat je aan een bepaald bedrag zit/getal.
de vergelijking hierbij= 10*(2ª) = 1000  

Dan mijn antwoord. Met 2^6 bedoelen we 2 tot de macht 6

10 x 2ª = 1000.                                                             
of laat ik even beide door 10 delen
2ª = 100       
je weet 2^6 = 64  , en 2^7 = 128

dus 't is iets van 6.5  (een belangrijk stukje extra. Meteen in de rekenmachine duiken is een valkuil: door dit even zo te stellen, appelleer ik aan wat de leerling al weet, en wat ze eigenlijk aan het doen is. Wat er ongeveer uitkomt is straks van belang om evt foutjes eruit te halen)

 

 

 

 

Maar hoe reken je dit precies uit ?

Als  "de onbekende" in de macht zit, zoals hier, moet ik je niveau weten.
Op vwo (en in wiskunde) doen we dat met logaritmen.
dan is ‘t
2ÂŞ = 100
a = 2 log 100,
Dit moet je omschrijven als 10 log 100 / 10 log 2
(je gebruikt de rekenregels voor log, je moet ze van hetzelfde grondtal krijgen)
en het grondtal 10 zit op je rekenmachine. Nou kun je t invoeren en er komt 6.6439 uit.
(ik weid hier niet teveel uit: of ze zit op vwo en heeft rekenregels al gehad, ofwel ze zit hier nog niet, en dan zou uitleg nu te lang duren)

Op de havo mag t ook zo:
plotten op je GR
y1 = 2ËŁ
y2 = 100
en nu het snijpunt tussen deze twee laten berekenen met de intersect-functie
Om af te lezen weet je uiteraard dat y = 100
en x is nou ja tussen 6 en 7 dus. (plotten kunnen ze meestal al, en hier appelleer ik weer aan die schatting)

Logaritmen zijn een omgekeerde bewerking van het machtsverheffen.
Stel de vraag luidt: 3ËŁ = 10. Hoe bereken je dan x ?
De oplossing is : x = 3 log 10.  Oftewel: 3 log 10  is “de macht waartoe we 3 moeten verheffen om 10 te krijgen”. Net als bij wortels komt er soms een mooi getal uit, maar vaak ook niet. Het levert dan een getal op, als ik het uit zou willen schrijven , met vele cijfers achter de komma, maar…3 log 10 is wel gewoon een getal !

De meer bekende omgekeerde bewerking is het worteltrekken:
als x² =  9, dan moet dus x = 3 zijn, “want 3² = 9”. (later leerden we dat -3² ook 9 was).
Als het niet zo mooi uitkwam, vonden we een toevlucht in wortels:
x²  = 11. Nou, dan geldt x = √11. (Spreek uit wortel 11)

Rekenregels Logartimen
Om het getal te berekenen (of beter te benaderen) gebruik je tegenwoordig je rekenmachine. Vroeger had je daar logaritmenboekjes voor. Rekenregels zijn soms nodig om het even om te schrijven naar een logaritme van het grondtal 10, zodat je dat op de rekenmachine in kunt voeren. De rekenregels worden vaak met onbekenden (a en b) gegeven.
Let op:  bij alog b geldt: grondtal a > 0 en a is niet 1, en b > 0)

2 log 8 = 3 =>  2 ³ = 8.  (da's de definitie, en met deze getallen onthoud je 'm het best)
 

a log x = a log b * b log x  Je kunt dit ook schrijven als:

 b log x  = a log x / a log b, en hiermee kun je dus het grondtal veranderen, hier van een b in a-tjes. Bijvoorbeeld je verandert in  grondtal 10, dat past in je rekenmachine.
 

g log x + g log y = g log (xy). Dit is eigenlijk eenvoudig te beredeneren: Stel ik zet een bedrag B op de bank, met 4% interest. Na 17.7 jaren is dit verdubbeld. (1.04 log 2). En na 28 jaren zou het bedrag verdrievoudigd zijn (1.04 log 3). Dat betekent dat na twee jaar en nog eens drie jaar, dus samen vijf jaar, het bedrag eerst verdubbeld is, en dat dubbele daarna nog eens verdrievoudigd.(= verzesvoudigd).

g log x - g log y = g log (x/y). Tja dit is gewoon hetzelfde als de vorige, want min en plus komt op hetzelfde neer. In plaats van ‘- g log y’ kan ik schrijven + g log y^-1 en x * y wordt dan x/y.

g log b ^p = p ¡ g log b.
Ook dit is eigenlijk erg logisch, ik leg het even uit met getallen.
Stel g log b = 3, dus gÂł = b.
Laten we aannemen dat p = 2.
Nou moet je dus g niet tot de derde macht verheffen, maar dat twee keer. Dus twee keer drie.
 

en nog even de simpele machten:

g log 1 = 0   (want x ͌  is altijd 1)

en g log g = 1 (want xšis altijd x)

Hiernaast is goed af te lezen:
10 log 1 = 0
10 log 10 = 1
10 log 100 = 2

 

Voorbeelden:

1. Gerrit zet geld (€ 1.263,17) op een spaarrekening waarbij hij 2,7 % rente ontvangt. Na hoeveel jaar is zijn spaargeld verdubbeld ?
Hoeveel geld hij op de bank zet maakt niet uit, je zou toch maar weer door dat getal moeten delen.
De groeifactor schrijven we als 1.027, ieder jaar moet je het vorige bedrag x 1.027 doen.
1.027 ͭ  = 2
t = 1.027 log 2 = 10 log 2 / 10 log 1.027 = 26 jaar.

2. Een luchtschip bevat 2500 m³ gas, en verliest elke 10 dagen ongeveer 3% daarvan . Als de gashoeveelheid onder de 2000 m³ komt, moet er bijgetankt worden.
Hoeveel dagen kan een vol luchtschip vliegen ?

2500 ¡ 0,97 ͭ = 2000 (beide even delen door 2500)
0.97 ͭ  = 2000 / 2500 = 0.8
t = 0.97 log 0.8
ofwel (met rekenregels): t = 10 log 0.8 / 10 log 0.97 = 7.32
omdat het in perioden van tien dagen was, is dit dus 73 dagen.

Logaritmische schalen
We gebruiken deze schaalverdelingen wel wanneer bepaalde waarden exponentieel toenemen. De eerste toenames zouden dan nauwelijks zichtbaar gemaakt kunnen worden. Bekendste schalen zijn de decibel-schaal voor geluidssterkte, en de schaal van Richter voor de sterkte van aardbevingen. Ook de zuurgraad in pH wordt zo aangegeven.

Op bovenstaande schaal neemt de waarde die op de verticale as wordt uitgezet exponentieel toe, maar door toepassing van een logaritmische schaalverdeling blijft het overzichtelijker.
Hier zien we dus per toename van de horizontale as een vertienvoudiging van de waarden. Op een gewone schaal zou de grafiek eerst nauwelijks zichtbaar toenemen, maar dan al snel van uw beeldscherm afspringen. Da's niet handig.

De realist
mei 2013

Volg deze zilla