Voorwaardelijke kans, onafhankelijke kans, en de regel van Bayes ?

Door De-realist gepubliceerd op Thursday 30 January 02:19

VWO, wiskunde A kansberekening, a priori a posteriori.

Een voorwaardelijk kans is de kans op gebeurtenis A, terwijl je weet al wat meer informatie hebt omtrent de kansverhoudingen. Je weet al iets anders, en dat beïnvloedt de kansverhoudingen op A en niet-A. We spreken ook van een afhankelijke kans Zo is de kans dat het morgen regent vaak afhankelijk van de wetenschap dat het vandaag regent. (regen komt vaak in depressies in een aantal dagen achter elkaar).


regen komt vaak in clusters van dagen

In formulevorm ziet het er niet zo plezierig meer uit:    P(A|B) = P (A|B) = P (A  ᴖ B) /  P (B)    

In plaats van het begrip voorwaardelijke kans met formules uit te rekenen, is het veel gemakkelijker dit met een tabel te doen. Ook wordt dan nog meer inzichtelijk wat we eigenlijk aan het doen zijn.

Een voorbeeld

In een klas met totaal 25 leerlingen zitten 14 jongens en 11 meisjes. Er zijn in totaal 5 linkshandigen, en (dus) 20 rechtshandigen. In de totaal-kolommen en rijen staan de a priori-kansen. Dit betekent van tevoren, zonder extra informatie. De kans a priori op een jongen is bijvoorbeeld 14/25.
Nu hebben we nog één gegeven nodig: (bijvoorbeeld) hoeveel linkshandige jongens er zijn. Dit zijn er vier.

In een tabel ziet het er nu als volgt uit:

  linkshandig rechtshandig totaal
jongens 4   14
meisjes     11
totaal 5 20 25

Merk op dat rechts onderin het aantal van de hele klas staat. Verder tellen de rijen op tot subtotalen, en  de kolommen ook. Je zult zien, dat je in een opgave altijd precies genoeg gegevens hebt, om de rest uit te kunnen rekenen. Hierboven zien we dat er tien rechtshandige jongens moeten zijn (4 + 10 = 14), en dus ook tien rechtshandige meisjes. Er blijft één linkshandig meisje over, dit is zelfs op twee manieren te zien. (11-10 of 5-4)

  linkshandig rechtshandig totaal
jongens 4 10 14
meisjes 1 10 11
totaal 5 20 25

Percentages of werkelijke getallen
De tabel werkt zowel met gewone (‘echte’) getallen als met percentages. In het laatste geval staan rechts onderin altijd 100%.

Voorwaardelijke kans aflezen
We komen nu bij de a posteriori- kansen. De kansen, waarbij we nog wat extra informatie hebben. De voorwaardelijke kans lees je nu echt heel simpel af. Neem nou de vraag: bereken de kans op een linkshandige, gegeven dat het een meisje is, of wiskundig P(L | M). Let op: op vwo formuleren ze net (expres!) die vraag altijd andersom: "bereken de kans dat een meisje lnkshandig is."
Het wordt nu al meer taalkudig dan wiskundig. We moeten dus gegeven dat het een meisje is, de kans op linkshandighied geven.  Het kan handig zijn de vraag eerst even te herformuleren met P ( links | meisje).

We kijken nu niet meer naar de hele klas, maar we zijn alleen geïnteresseerd in de meisjes. (;-)). We kijken nu naar de totaal-rij van de meisjes, dat zijn er elf. Hiervan zijn er 10 rechtshandig en één linkshandig, de kans is dus 1/11.

Onafhankelijke kansen
Het kan voorkomen, dat twee gebeurtenissen die op het oog met elkaar te maken hebben, toch onafhankelijk zijn. Stel je hebt de verwachting dat leerlingen die buiten de stad wonen, vaker een scooter hebben. Je ondervraagt vijf klassen, totaal 120 personen

  scooter geen scooter totaal
uit de stad 20 60 80
van buiten de stad 10 30 40
totaal 30 90 120

We zien dat de verhoudingen gelijk zijn. Het maakt helemaal niet uit welke verhoudingen je neemt.
Zo kun je er op wijzen, dat leerlingen uit de stad in 20/80 gevallen een scooter hebben, maar leerlingen van buiten de stad ook.(10/40 = 20/80). Of je geeft aan, dat 10/30 van buiten de stad (met scooter) gelijk is aan 30/90 met scooter, of gelijk aan 40/120 van het totaal. Je vergelijkt steeds een kolom met een andere, of een rij met een andere.
Zijn die verhoudingen gelijk, dan is de kans onfhankelijk. Het extra gegeven of iemand een scooter heeft maat niet de kans groter of kleiner dat hij uit de stad komt.
Zijn de verhoudingen ergens niet gelijk, dan zijn de kansen afhankelijk.

In een twee bij twee tabel is één verhouding die klopt genoeg voor een gehele onafhankelijkheid. In een grotere tabelmoet je de andere kolommen/rijen ook even checken.
Vind je één kolom/rij die niet dezelfde verhoudingen geeft dan een andere, dan is er sprake van een afhankelijkheid.

Bayes rule / Het theorema van Bayes

Een variant hierop is de regel van Bayes  

P (A|B) =          P (B  ᴖ A)  * P(A)
                          P (B|A) P(A) + P(B| -A) * P(-A)

Ook niet meer zo'n heel prettige formule. Ook dit probleem is heel gemakkelijk af te lezen:Stel we hebben gekozen voor een linkshandige. Wat is de kans, dat dit een jongen was ?

 

Eigenlijk hebben we nauwelijks nog een andere vraag dan bovenstaande wanneer we de tabel eenmaal ingevuld hebben. Want in plaats van P(A|B) moeten we nu P(B|A) aflezen. En dat is niet moeilijker.

De keuze voor een linkshandige beperkt de totale groep tot een vijftal. En daarvan waren er vier jongens. Die kans is dus 4/5, of 80 %.

                        linkshandige jongens

Het quizmasterprobleem
Een variant op bayes' regel is het quizmasterprobleem, waarin een winnaar uit drie kastjes moet kiezen. Dat kan met bovenstaande tabel eenvoudig aangetoond worden. Lees: http://plazilla.com/het-quizmasterprobleem-3-kastjes-1-prijs-ga-je-ruilen
 

Reacties (0) 

Voordat je kunt reageren moet je aangemeld zijn. Login of maak een gratis account aan.