De stelling van Pythagoras

Iedereen kent de stelling van Pythagoras wel, maar wat kun je er precies mee? Behalve het uitrekenen van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, kan je de stelling van Pythagoras op meerdere manieren toepassen. Aan de hand van een aantal voorbeelden nemen we de stelling even door, want het is al zo lang geleden.

Phytagoras was een Griekse wiskundige, wijsgeer en filosoof en werd rond 570 voor Christus geboren op het eiland Samos. Sommige bronnen zeggen dat hij 569 v.C. werd geboren en andere melden 572 v.C. Ook het exacte jaartal van zijn dood is onduidelijk en ligt ergens tussen 500 en 475 voor Christus, dat gebeurde in Metapontum, Italië. Dat was heel erg kort iets over de uitvinder van de stelling zelf, maar nu beginnen we aan het wiskundige gedeelte.

De stelling van Pythagoras

Met behulp van de stelling kan de schuine (hypothenusa) zijde (C) uitgerekend worden, als de lengte van de twee andere zijden (A+B) bekend is.

Voorbeeld: Stel, zijde A=3 en zijde B=4. Met die gegevens kan je de lengte van zijde C uitrekenen. De informatie die je voor handen hebt, hoef je alleen maar in te vullen in de formule: 

A² + B² = C²

                                      3² + 4² = C²

Als je vervolgens de getallen uitrekent krijg je de volgende oplossing:

                                     9 + 16 = 25

25 is de lengte van de hypothenusa (schuine zijde), maar in het kwadraat! Om de exacte lengte van C te weten te komen, moet je de wortel van 25 nemen:  V25 = 5, de lengte van de schuine zijde is 5.

(excuses voor het gebrekkige wortelteken)

Het uitrekenen van de Hypothenusa is het uitgangspunt van de stelling van Pythagoras, maar met elke combinatie van twee bekende zijdes kan de ontbrekende zijde uitgerekend worden. Stel dat alleen de gegevens bekend zijn van zijde A en zijde C, dan kan de Pythagoras-stelling ook toegepast worden:

Voorbeeld: 

Zijde A = 7 en zijde C = 11, als je de getallen kwadrateert dan krijg het volgende:

49 + B² = 121, om B uit te kunnen rekenen moet je de formule even in andere volgorde zetten:

C² - A² = B² > dus > 121 - 49 = 72 en de wortel van 72 = 8,49. 

Op dezelfde manier kan je ook zijde A uitrekenen. Dan krijg je C² - B² = A² (de uitkomst weer worteltrekken)

Het bewijs, stap voor stap

A² + B² = C², gaat eigenlijk over het vergelijken van oppervlakken

Door alle zijden te kwadrateren, creëer je 3 verschillende oppervlakken. Het oppervlak van een vierkant is immers één zijde in het kwadraat. Met de 3, 4, 5 regel kan je dit het beste in beeld brengen. 

Zijde A heeft een oppervlak van 3² = 9

Zijde B heeft een oppervlak van 4² = 16

Zijde C heeft een oppervlak van 5² = 25

De oppervlakken van de twee rechte zijdes, passen in het oppervlak van de schuine zijde. Dat dit klopt kun je bewijzen met een vierkant in een vierkant.

Trek een willekeurige lijn en verdeel de lijn op een willekeurige plaats. Als voorbeeld is de lijn 10 eenheden lang en is verdeeld in een stuk van 3 en 7. 

Kopieer de eerste lijn zodat je met vier lijnen een gelijkzijdig vierkant kunt maken. Alle vier de zijden zijn verdeeld in stukken van 3 en 7.

Als we het oppervlak van het vierkant uit willen rekenen doen we dat door de lengte van één zijde te kwadrateren

(A + B)² = 10² = 100

Dit ter controle van een andere vergelijking om het oppervlak uit te kunnen rekenen:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

100 = 3² + 2 x 3 x 7 + 7²

(100 = 100)

Volgens de stelling van Pythagoras zou in dit geval de schuine zijde C gelijk zijn aan  wortel 58.

A² + B² = C²  >  9+ 49 = 58

Het oppervlak van de vier rechthoekige driehoeken is 1/2AB = 10,5 x 4 = 42

58 + 42 = 100 

en daarmee is de stelling bewezen.

Als je het op de wiskundige manier verwerkt, krijg je de volgende uitwerking:

A² + 2AB + B² = C² + 4 * 1/2 AB

2AB en 4* 1/2AB kun je tegen elkaar wegstrepen en dan hou je het volgende over:

A² + B² = C²!