Het driedeurenprobleem: 3 kastjes, 1 prijs, ga je ruilen ?

Door De-realist gepubliceerd op Wednesday 29 January 16:52

Een bekende variant van Bayes rule is het tegenwoordig op feestavonden populaire quizmasterprobleem, gedoeld wordt op o.a. de legendarische Willem Ruis.

Een kandidaat heeft de quiz gewonnen, en mag nu zijn prijs kiezen. Er zijn drie kastjes, en achter één zit de hoofdprijs. Achter de andere twee zit niets. De quizwinnaar kiest, laten we zeggen, kastje A.

“Zou je dat nou wel doen” vraagt Ruis “je mag nog wisselen hoor. Wat denkt het publiek”. Dat roept natuurlijk van alles, maar heeft net zo min een idee. De kandidaat blijft bij zijn keuze.

Weet je het echt zeker ?” probeert Ruis nog een keer.c85a32654bcedb6101ed61369376f3d8.jpg “Want dit kastje…”hij loopt naar kastje C toe…kijkt voorzichtig, zonder dat iemand anders iets zien kan….”dit kastje is leeg hoor”  en hij toont triomfantelijk het inderdaad lege kastje. Voor alle duidelijkheid: Ruis zag dus dat het kastje leeg was, en opende het pas daarna helemaal.

De vraag is: ga je nu nog wisselen.

Deze vraag is eigenlijk het beste met een kanstabel, zoals hier uitgelegd, te beantwoorden. We vullen deze dus opnieuw in.

We nemen aan dat de quizwinnaar kastje A gekozen heeft. Dat kan gemakkelijk, het is maar een naam, we kunnen ook zeggen: het kastje dat hij uitkiest noemen we A.
Voor het gemak van uitleggen, om niet steeds in breuken te spreken, nemen we even aan dat hij niet één keer, maar 30 keer kastje A kiest.

Hoe lezen we onderstaande tabel? Kijk eerst naar de totalen per rij. De prijs zit tien keer in A, tien keer in B en tien keer in C. Dan kijken we naar de kolomtotalen:
de quizmaster toont nooit A, want die is door de kandidaat gekozen, en hij toont even vaak B als C.

Dan kijken we naar rij 1. De prijs zit in A: nu heeft de quizmaster een keus, we nemen even aan dat hij even vaak B als C laat zien. Kijken we naar de identieke rijen 2 en 3, dan heeft de kandidaat dus misgegokt, de quizmaster kan nu nog maar één kastje laten zien., nl het enige nog lege kastje.

  Q toont A Q toont B Q toont C totaal
Prijs zit in A nooit 5 5 10
Prijs zit in B nooit niet 10 10
Prijs zit in C nooit 10 niet 10
Totaal 0 15 15 30


De vraag is: wat is de kans dat de prijs in A zit...
...gegeven dat de quizmaster kastje B toont. Dus P(A| toont B). A onder de voorwaarde van 'toont B'.

Zoals in het eerste artikel is uitgelegd, nemen we voor deze voorwaardelijke kans alleen de totaalkolom van "Q toont B". kolomtotaal 15. P(A) gegeven 'toont B' is de inhoud van deze cel gedeeld door het kolomtotaal, dus 5 / 15.

Met het maken van een tabel zijn deze Bayessiaanse vragen altijd zeer gemakkelijk te berekenen.

Merk op: de kans op een goede keuze is gedurende het hele spel 1/3 geweest, er is wel extra informatie bij gekomen, maar de kansen zijn nooit veranderd. De kéuzes die je op basis van nieuwe informatie moet maken wel. Zoiets wordt in de politiek vaak ten onrechte ‘draaikonterij’ genoemd. Maar je keuze bijstellen op basis van nieuwe informatie is helemaal niet slecht. Voortschrijdend inzicht noemen we zoiets.

Nieuwe informatie: heroverwegen van het besluit
Het omschreven dilemma voldoet perfect aan een breder probleem, namelijk dat van besluitvorming. Onderzoek toont aan dat mensen huiverig zijn een eenmaal genomen besluit te wijzigen, óók als nieuwe informatie wordt toegevoegd. en dat is eigenlijk per definitie altijd fout. Mensen zijn bang om voor 'draaikonterij' of twijfelar te worden uitgemaakt, terwijl nieuwe informatie per definitie altijd zou moeten leiden tot een heroverweging van de besluitvorming. Dat is wat anders dan ook het nemen van een nieuw besluit.

Het woord besturen kent twee betekenissen: het besturen van een voertuig, of het leiden van een bedrijf of gemeenschap. Maar het komt beide op het zelfde neer: 'richting geven aan.' Laten we daarom een voertuigbestuurder nemen, die komt voor de keuze route A of route B te nemen. Hij kiest op basis van de hem dan ter beschikking staande informatie, laten we zeggen route A.

Vervolgens zet hij de radio aan, en hoort van een file op route A. Leidt dit tot een nieuwe besluitvorming ? Wel degelijk !
Leidt dit ook tot een nieuw besluit ? Mogelijk, doch niet noodzakelijk ! Het kan zijn dat route A alsnog sneller is, bijvoorbeeld omdat de file meevalt in lengte. Of dat de besuurder al enige kilometers gereden heeft, en omkeren nu te ver zou zijn.

Zo is het ook met het quizmasterprobleem. We moeten uit elkaar halen of de informatie die er komt nieuw is, én of dit leidt tot een nieuw besluit.
Uiteraard is de informatie nieuw: de quizmaster opent een deurtje, en het is duidelijk dat de prijs daar niet achter zit. Meer informatie kun je niet krijgen als de beslissing is een deurtje te kiezen met een prijs erachter.
- Is de informatie nieuw ten aanzien van de vraag hoe groot de kans is dat de prijs achter A zit (A was het gekozen kastje) ? Neen, deze blijft 33%.
- Is de informatie nieuw omtrent de vraag waar de prijs verder nog zou kunnen zitten ?  Ja, de prijs zit in ieder geval niet achter B, als dat kastje leeg getoond wordt.
Deze beide vragen samen leiden tot het antwoord dat de quizwinnaar zou moeten wisselen.

Waarom mensen dan toch vaak besluiten niet te veranderen, is het ingebakken vooroordeel niet te willen terugkomen op een eenmaal genomen besluit. We zien dat overal: in het bedrijfsleven, in de politiek, in de gezinssituatie. Terugkomen op besluiten toont, zo is de mores, twijfel en 'geen ruggegraat'.
Aleen in de wetenschap is men, tot op zekere hoogte, bereid terug te komen op beslissingen. Tenzij een heel vakgebied of een hele 'school' (een manier van denken) achterhaald blijkt. Dan blijkt men opeens halsstarrig vast te houden aan de denkbeelden waarmee men vergroeit is, en wordt de nieuwe informatie hetzij ontkend, of worden er kanttekeningen bij geplaatst. "dat is wel zo, maar alleen in die en die context" zegt men dan. Om vervolgens situaties te schetsen dat ook in vele gevallen de oude, vertrouwde theorie nog opgeld doet.

Extra vraag:

Het quizmasterprobleem heeft zijn beste tijd nu wel gehad. Maar passen we het een beetje aan:

Nu kiest de quizwinnaar een kastje, en de quizmaster vraagt "zou je dat nou wel doen ?" En hij loopt naar een ander kastje, en trekt dat op de bluf open...."want deze is leeg !".
Moet de kandidaat nu ook van keuze veranderen ? En zo ja/nee, waarom (niet) ?
2ae02f49ca5cbefdd556a3a0754e099c_medium.

Reacties (0) 

Voordat je kunt reageren moet je aangemeld zijn. Login of maak een gratis account aan.