De verjaardagsverrassing.

Door Jacobjones gepubliceerd op Friday 28 September 12:08

Kansberekening is een onderdeel van de wiskunde. Je kan o.a. bepalen hoeveel kans er is om met twee dobbelstenen een 7 te gooien. Maar in dit artikel bespreek ik een ander probleem dat niet gokgerelateerd is.

Inleiding:

Stel dat je willekeurig twee mensen neemt, wat is dan de kans dat ze op dezelfde dag jarig zijn? Als je veronderstelt dat er geen schrikkeljaren zijn, maar alleen jaren met 365 dagen dan is er één kans op 365 dat beiden op dezelfde dag verjaren. Deze kans is dus minimaal en bedraagt amper 0,27 %.  Het is dus weinig waarschijnlijk. Maar als je bijvoorbeeld een klas van 40 leerlingen zou nemen, hoe groot zou dan de kans zijn dat twee of meer leerlingen op dezelfde dag verjaren?

Berekening:

Op het eerste zicht zou je denken dat de kans nogal klein is gezien er maar 40 leerlingen zijn en er 365 dagen in een kalenderjaar. Het is eigenlijk verrassend dat die kans veel groter is.

Eén van de moeilijke dingen van het probleem is dat er veel permutaties zijn. Jan en Frank kunnen op dezelfde jarig zijn, maar ook Frank en Erika kunnen dit. Permutaties zijn dus geordende tweetallen.

In een klas van 40 leerlingen zijn er 40 x 39 = 1560 paren maar omdat het paar Jan - Henk en Henk - Jan hetzelfde paar is, moeten we dit getal delen door 2.  In totaal zijn er dus slechts 1560 : 2 = 780 combinaties. Er is gelukkig een gemakkelijkere manier om dit probleem aan te pakken dan al deze combinaties in ogenschouw te nemen.

We kunnen uitgaan van de kans dat geen verjaardagen samenvallen. Als je iedereen in de klas om de beurt zijn verjaardag laat zeggen dan is er een kans van 364/365 dat de tweede anders is dan de eerste, de kans dat de derde verschilt van de eerste twee is 363/365 omdat er nu twee dagen zijn waarop de data zouden kunnen samenvallen. De kans dat de verjaardag van de 40 ste samenvalt met die van iemand anders is : 326/365.

De kans echter dat niemand in de klas op dezelfde dag jarig is, krijg je door al die aparte kansen met elkaar te vermenigvuldigen:

364/365  x   363/365 x ...  x 327/365 x 326/365 =

0,9972602 x 0,9945205 x ...  x 0,8958904 x 0,8931506 = 0,1319097

Als je al deze breuken met elkaar vermenigvuldigt bekom je het getal 0,1319097. De kans dat er geen verjaardagen op dezelfde dag vallen, is dus gelijk aan 0,13 x 100 = 13 %.

Besluit:

Daarom is de kans dat er twee of meer verjaardagen op dezelfde dag vallen gelijk aan 100 - 13 = 87  %.

 

=================================================================================

De kans dat je met twee dobbelstenen een 7 gooit kan je volgens een gelijkaardige redenering berekenen. Voor één dobbelsteen zijn er 6 mogelijkheden, voor twee dobbelstenen heb je 6 x 6 = 36 mogelijke permutaties. Hier moet je niet delen door 2 omdat bijvoorbeeld 6, 5 en 5, 6 een andere worp zijn.

Hoeveel van die permutaties zijn er om 7 te gooien?

Je hebt volgende permutaties:

1-6

6-1

2-5

5-2

4-3

3-4

Er zijn dus 6 manieren om een 7 te gooien of 6 kansen op 36. Dit is 6/36 = 0,2 of  20 % kans.

Reacties (0) 

Voordat je kunt reageren moet je aangemeld zijn. Login of maak een gratis account aan.