Stel de vraag luidt: 3ª = 10. Hoe bereken je dan a ?
De oplossing is : a = 3 log 10.  Want dat is wat een logaritme per definitie is, een omgekeerde bewerking van het machtsverheffen.

Dit schrijf je om via rekenregels naar a = 10 log 10 / 10 log 3.
En dit kun je op de rekenmachine doen. De 'log'-knop staat voor "10 log."

(10-logknop-deelknop-3-logknop-enter) = 2.095
 

Laatst kreeg ik een vraag over deze vaak onbegrepen berekening. Dat ging zo:54f153a292ebc1ffebc8eccad9418937.jpg

Hey !  (Tja, social media hè, het betrof hier een vraag via internet. Waar de ‘waarde’-aanhef al in het handgeschreven tijdperk zijn langste tijd gehad had, legt nu ook ‘geachte’ of ‘beste’ het loodje)

“Hey ! zou je me willen helpen?

het gaat om de formule om uit te rekenen hoeveel x je iets kan verdubbelen voordat je aan een bepaald bedrag zit/getal." (jaja, zo ingewikkeld worden de vragen soms gestel)

De vergelijking die we op kunnen stellen is:  10 * (
) = 1000  

Dan mijn antwoord. Met 2^6 bedoelen we 2 tot de macht 6

10 x = 1000.                                                             
of laat ik even beide door 10 delen
= 100       
je weet 2^6 = 64  , en 2^7 = 128

f129e0f974812fa6157cf771e30555ba.jpg

dus 't is iets van 6.5  (een belangrijk stukje extra. Weet waarmee je bezig bent ! Meteen in de rekenmachine duiken is een valkuil: door dit even zo te stellen, appelleer ik aan wat de leerling al weet, en wat ze eigenlijk aan het doen is. Wat er ongeveer uitkomt is straks van belang om evt foutjes eruit te halen)

 

 


Maar hoe reken je dit precies uit ?

Als  "de onbekende" in de macht zit, zoals hier, moet ik je niveau weten.
Op vwo (en in de wiskunde) doen we dat met logaritmen.
dan is ‘t
2ª = 100
a = 2 log 100,  (met 2 wordt hier het grondtal 2 bedoeld)
Dit moet je omschrijven als 10 log 100 / 10 log 2
(je gebruikt de rekenregels voor log, je moet ze van hetzelfde grondtal krijgen)
en het grondtal 10 zit op je rekenmachine. Nou kun je t invoeren en er komt 6.6439 uit.
(ik weid hier niet teveel uit: of ze zit op vwo en heeft rekenregels al gehad, ofwel ze zit hier nog niet, en dan zou uitleg nu te lang duren)

Op de havo mag 't ook zo: plotten op je GR
y1 = 2ˣ
y2 = 100
en nu het snijpunt tussen deze twee laten berekenen met de intersect-functie
Om af te lezen weet je uiteraard dat y = 100
en x is nou ja tussen 6 en 7 dus. (plotten kunnen ze meestal al, en hier appelleer ik weer aan die schatting)

a6bc9d3753c610199f7604844672bd55.jpg

Logaritmen zijn een omgekeerde bewerking van het machtsverheffen.
3log 10.  is gewoon een getal. Het is  “de macht waartoe we 3 moeten verheffen om 10 te krijgen”. Net als bij wortels komt er soms een mooi getal uit, maar vaak ook niet. Het levert dan een getal op, als ik het uit zou willen schrijven , met vele cijfers achter de komma, maar…3 log 10 is wel gewoon een getal !

De meer bekende omgekeerde bewerking is het worteltrekken:
als x² =  9, dan moet dus x = 3 zijn, “want 3² = 9”. (later leerden we dat -3² ook 9 was).
Als het niet zo mooi uitkwam, vonden we een toevlucht in wortels:
x²  = 11. Nou, dan geldt x = √11. (Spreek uit wortel 11)
Wortel 11 is net zo goed een getal als 3 log 10.

1318fee78f0af639c5950cdda768d111.jpgUitleg Rekenregels Logartimen
Om het getal te berekenen (of beter te benaderen) gebruik je tegenwoordig je rekenmachine. Vroeger had je daar logaritmenboekjes voor. Rekenregels zijn soms nodig om het even om te schrijven naar een logaritme van het grondtal 10, zodat je dat op de rekenmachine in kunt voeren. De rekenregels worden vaak met onbekenden (a en b) gegeven.
Let op:  bij alog b geldt: grondtal a > 0 en a is niet 1, en b > 0)

Regel 1. 2 log 8 = 3 =>  2 ³ = 8.  (da's de definitie, en met deze getallen onthoud je 'm het best). Het geeft welke  waarden je dus 'om mag draaien' als je bij 5log x moet oplossen.
 

Regel 2.   p · g log b = g log b ^p
Dit is eigenlijk heel logisch te verklaren. g log g is natuurlijk altijd 1. 2 log 2 = 1. Tot welke macht moet je 2 verheffen, om 2 te krijgen ? => 1
Zo is elk getal, bijv 5, te schrijven als 5 * 1 oftewel 5 * g log g.
En g log (g^5) is natuurlijk 5: tot welke macht moet je g verheffen, om g^5 te krijgen ? Nou, tot de vijfde macht natuurlijk, het staat er al.

Dus: 5 = 5 * g log g = g log (g^5)
Dit is een belangrijke regel om in een opgave met enkele logjes, maar ook enkele gewone getallen, de gewone getallen als log te schrijven.
 

Regel 3. a log b  = g log b / g log a
Hiermee kun je het grondtal van ieder logaritme in een ander grondtal veranderen.  Handig als je van een opgave alle grondtallen gelijk moet maken.
Ook kun je alles naar het grondtal 10 omzetten, dat past in je rekenmachine.


Regel 4. g log x + g log y = g log (xy). Dit is eigenlijk eenvoudig te beredeneren: Stel ik zet een bedrag B op de bank, met 4% interest. Na 17.7 jaren is dit verdubbeld. (1.04 log 2). En na 28 jaren zou een bedrag verdrievoudigd zijn (1.04 log 3). Dat betekent dat na twee jaar en daarna nog eens drie jaar, dus samen vijf jaar, het bedrag eerst verdubbeld is, en dat dubbele daarna nog eens verdrievoudigd.(= verzesvoudigd).

regel 4b. g log x -- g log y = g log (x/y). Tja dit is gewoon hetzelfde als de vorige, want min en plus komt op hetzelfde neer. In plaats van ‘- g log y’ kan ik schrijven + g log y^-1 en x * y wordt dan x/y.

Deze rekenregels krijg je in de meeste onderwijsvormen gegeven op een formuleblad. Je hoeft ze niet te kennen, maar wel herkennen, en kunnen toepassen.

. 43317a7d8072582e588812064ba11105_medium.

 

en nog even de simpele machten:

g log 1 = 0   (want x ͦ  is altijd 1) (voor ieder grondtal g)

en g log g = 1 (want x¹is altijd x)

Hiernaast is goed af te lezen:
10 log 1 = 0
10 log 10 = 1
10 log 100 = 2

Rekenvoorbeelden:

3 * 2 log x + 2 log 3 - 4  = 2 log 10

Nu moet je gebruik makend van de rekenregels.De factor 3 kun je binnen het logaritme halen (regel 2) => 2 log (x^3)

dus staat er :
2 log (x^3) + 2 log 3 - 2 log 10 = 4
Optellen mag volgens regel 4
2 log (x^3  * 3  / 10)  = 4

En nu via regel 1 de zaak omdraaien:
2 ^4 = x^3 * 3/10
16 = (x^3) * 3/10
16 / 3 * 10 = x^3
160/3 = x^3
x = derdemachtswortel uit 160/3.
 

Bij dit soort sommetjes (VWO) moet je gewoon alles uitschrijven als een logaritme met eenzelfde grondtal. Als laatste stap kun je dan ofwel regel 1 toepassen, ofwel je krijgt iets als
log a = log b. En dan mag je 'het logaritme laten vallen":
=>  a = b.
(bijv log 2x = log 4
2x = 4
x = 2.)

Toepassingsvragen:

1. Gerrit zet geld (€ 1.263,17) op een spaarrekening waarbij hij 2,7 % rente ontvangt. Na hoeveel jaar is zijn spaargeld verdubbeld ?
Hoeveel geld hij op de bank zet maakt niet uit, je zou toch maar weer door dat getal moeten delen.
De groeifactor schrijven we als 1.027, ieder jaar moet je het vorige bedrag x 1.027 doen.
1.027 ͭ  = 2
t = 1.027 log 2 = 10 log 2 / 10 log 1.027 = 26 jaar.

2. Een luchtschip bevat 2500 m³ gas, en verliest elke 10 dagen ongeveer 3% daarvan . Als de gashoeveelheid onder de 2000 m³ komt, moet er bijgetankt worden.
Hoeveel dagen kan een vol luchtschip vliegen ?

2500 · 0,97 ͭ = 2000 (beide even delen door 2500)
0.97 ͭ  = 2000 / 2500 = 0.8
t = 0.97 log 0.8
ofwel (met rekenregels): t = 10 log 0.8 / 10 log 0.97 = 7.32
omdat het in perioden van tien dagen was, is dit dus 73 dagen.

Logaritmische schalen
We gebruiken deze schaalverdelingen wel wanneer bepaalde waarden exponentieel toenemen. De eerste toenames zouden dan nauwelijks zichtbaar gemaakt kunnen worden. Bekendste schalen zijn de decibel-schaal voor geluidssterkte, en de schaal van Richter voor de sterkte van aardbevingen. Ook de zuurgraad in pH wordt zo aangegeven.

761518a86bf346ed92f02426272ec692.jpg

Op bovenstaande schaal neemt de waarde die op de verticale as wordt uitgezet exponentieel toe, maar door toepassing van een logaritmische schaalverdeling blijft het overzichtelijker.
Hier zien we dus per toename van de horizontale as een vertienvoudiging van de waarden. Op een gewone schaal zou de grafiek eerst nauwelijks zichtbaar toenemen, maar dan al snel van uw beeldscherm afspringen. Da's niet handig.

De realist
mei 2014

29/05/2013 18:46

Reacties (17) 

Voordat je kunt reagearen moet je aangemeld zijn. Login of maak een gratis account aan.
31/05/2013 02:52
Ik heb het aangepast, alle machten heb ik nu met symbool iinvoegen gedaan. Wel een rotklusje ! In de editor ging het goed, er staat in de code ook subscript etc, maar gepubliceerd kwam het er niet goed op. De sup- en subscript die je ook wel bij ' a log b' ziet staan, heb ik lekker zo gelaten - dat is wel leesbaar.
Staat het er nu goed ?
01/06/2013 15:01
Ja.
30/05/2013 12:16
Hoeveel geld je op de bank zet maakt niet uit. Gerrit krijgt 2,6% rente, maar Wouter ook. Dan is Gerrit z'n geld na zoveel jaar verdubbeld, maar Wouters geld ook.
Wat wél zo is: 1.026^27 = 1.99976, dus eigenlijk is het pas na 28 jaar. Da's heel flauw, maar op VO moet je wel zo afronden. Zal ik t aanpassen ? Ik vid deze afronding zo flauw, dat ik liever het rentepercentage even aanpas.
30/05/2013 13:09
Is toch wel 2,1 uur op een heel jaar...
30/05/2013 10:23
Shit laat maar...
foutje ,ik ben hier ook geen ster in he!:(
30/05/2013 09:54
Gerrit zijn geld is in 26 jaar verdubbeld, geen 27.Je maakt van die 1263,17 plus 2.6%, 1296.01 >>1.026^(n) (n=26), stel je gelijk aan 2526.34 kom je uit op 2526,37 omdat ik 2 significante cijfers gebruik.
29/05/2013 23:49
Ja, het is heel vervelend, vanmiddag stond het er wel goed, en nu zijn in die vervelende editor alle subscripts en machten weggevallen. Dit is buitengewoon vervelend, dat heeft nog een poos geduurd want dat typt niet snel ! Bah !
29/05/2013 22:19
3n = 10 heeft zeker niet dezelfde uitkomst als n = 3log(10)
Het zou wel 3^n = 10 kunnen zijn...
29/05/2013 20:50
Moest even kijken hoor, bijvoorbeeld met dat luchtschip. 0.97t? Dat is gewoon 100% - die 3% die elke 10 dagen verloren ging.
Oke, tot zover,maar Gerrit zijn geld...Hoe kom je aan 1026n=2 ? Waar staat die 1026 voor? Hoeben je daaraan gekomen?
HenkX tegen Utopia
29/05/2013 21:42
1,026 is de factor waarmee je telkens vermenigvuldigt. Doe je dat n keer, dan schrijf je dat als 1,026^n (wellicht is er enige opmaak verloren gegaan bij het artikel).
29/05/2013 23:50
Jazeker ! Ik heb eerst uitvoerig gekeken of opmaak overgenomen werd. Dat was eerst wel het geval, zie ook de reacties.
29/05/2013 23:55
Ik had ook beter moeten weten dan "wellicht" te veronderstellen. Wel jammer, kan inderdaad een heel gedoe zijn - en het leidt juist bij de mensen voor wie dit bedoeld is weer tot onduidelijkheden.
29/05/2013 23:59
Ja, het lijkt me nogal een inkoppertje dat als je hier een heel artikel over schrijft, dat je dan wel het verschil tussen 3n en 3^n weet. Herschrijven dan maar ?
3 log (10) etc maakt het geheel wel veel minder leesbaar.